Question

15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2（a²-b²）=2accosB+bc．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）D為邊BC上一點，BD=3DC，∠DAB=$\frac{π}{2}$，求tanB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a²+c²-b²，代入已知等式整理得cosA=-$\frac{1}{2}$，即可求得A．
（Ⅱ）由已知可求∠DAC=$\frac{π}{6}$，由正弦定理有$\frac{AD}{sinC}=\frac{CD}{sin∠DAC}$，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由C=$\frac{π}{3}$-B化簡即可得解．

解答 解：（Ⅰ）因為2accosB=a²+c²-b²，所以2（a²-b²）=a²+c²-b²+bc．…（2分）
整理得a²=b²+c²+bc，所以cosA=-$\frac{1}{2}$，即A=$\frac{2π}{3}$．…（4分）
（Ⅱ）因為∠DAB=$\frac{π}{2}$，所以AD=BD•sinB，∠DAC=$\frac{π}{6}$．…（6分）
在△ACD中，有$\frac{AD}{sinC}=\frac{CD}{sin∠DAC}$，
又因為BD=3CD，
所以3sinB=2sinC，…（9分）
由C=$\frac{π}{3}$-B得3sinB=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-$\frac{1}{2}$sinB），…（11分）
整理得tanB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，綜合性較強，屬于基本知識的考查．