Question

3．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤2時，y=x，當(dāng)x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點為P（3，4），且過點A（2，2）的拋物線的一部分．
（1）求函數(shù)f（x）在（2，+∞）上的解析式；
（2）在直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（3）寫出函數(shù)f（x）的值域及單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）設(shè)y=a（x-3）²+4，再把點A（2，2）代入，可得 2=a+4，求得a的值，可得此式函數(shù)的解析式．再根據(jù)函數(shù)f（x）在R上是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對稱，可得函數(shù)在R上的解析式．
（2）由函數(shù)的解析式作出函數(shù)f（x）的圖象．
（3）由函數(shù)f（x）的圖象，可得函數(shù)的值域及單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）∵當(dāng)x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點在p（3，4），且過點A（2，2）的拋物線的一部分，
可設(shè)y=a（x-3）²+4，再把點A（2，2）代入，可得 2=a+4，求得a=-2，∴y=-2（x-3）²+4（x＞2）．
∴由于函數(shù)f（x）在R上是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對稱，
故函數(shù)的解析式為 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，-2≤x≤2}\\{-2（x-3）^{2}+4，x＞2}\\{-2（x+3）^{2}，x＜-2}\end{array}\right.$．
（2）函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：
（3）由圖象可得，函數(shù)f（x）的值域為（-∞，4]，單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-3]，[0，3]．

點評 本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，偶函數(shù)的圖象特征，求函數(shù)的值域及單調(diào)增區(qū)間，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．