Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=

1 |x-2| ， (x≠2) 1， (x=2)

，若關(guān)于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0（其中m＞2）有n個不同的實數(shù)根x₁，x₂，…x_n，則f（

n

i=1

x_i）的值為（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  8

• C、

  1

  12

• D、

  1

  16

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：解f²（x）-mf（x）+m-1=0得：f（x）=m-1，或f（x）=1，結(jié)合函數(shù)f（x）=

1 |x-2| ， (x≠2) 1， (x=2)

，的圖象求出

n

i=1

x_i的值，代入可得答案．

解答： 解：解f²（x）-mf（x）+m-1=0得：f（x）=m-1，或f（x）=1，
分段函數(shù)f（x）=

1 |x-2| ， (x≠2) 1， (x=2)

，的圖象如圖所示
由圖可知，

當(dāng)f（x）=1時，它有三個根1或2或3．
當(dāng)f（x）=m-1時，它有兩個根x₁，x₂，且這兩個根關(guān)于x=2對稱．
∴x₁+x₂=4，
故方程f²（x）-mf（x）+m-1=0（其中m＞2）有5個不同的實數(shù)根，

n

i=1

x_i=10，
故f（

n

i=1

x_i）=

1

8

，
故選：B

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系、函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．