Question

如圖，測量河對岸A、B兩點(diǎn)間的距離，沿河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測得：∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，則AB的距離是

20

6

．

Answer 1

分析：由∠BDC=∠ADB+∠ADC及∠ADB與∠ADC的度數(shù)，求出∠BDC為直角，又∠BCD=45°，得到三角形BCD為等腰直角三角形，可得出BD=CD=40，在三角形ACD中，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACD與∠CAD的度數(shù)，再由CD的長，利用正弦定理求出AD的長，在三角形ABD中，由AD，BD及cos∠ADB的值，利用余弦定理即可求出AB的長．

解答：解：∵∠ADB=60°，∠ADC=30°，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°，又∠BCD=45°，
∴△BCD為等腰直角三角形，又CD=40，
∴BD=CD=40，
在△ACD中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=105°，∠ADC=30°，
∴∠CAD=45°，
又sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

2 + 6

4

，
由正弦定理

CD

sin∠CAD

=

AD

sin∠ACD

得：

40

sin45°

=

AD

sin105°

，
解得：AD=20（

3

+1），
在△ABD中，利用余弦定理得：AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos60°=400（

3

+1）²+40²-800（

3

+1）=2400，
解得：AB=20

6

．
故答案為：20

6

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．