Question

16．已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上是嚴格單調增函數(shù)，a、b∈R，寫出命題“若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷真假，說明理由．

Answer 1

分析 本題考查的知識點是四種間的逆否關系及四種命題，由已知函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，我們可以先判斷原命題的真假，然后根據(jù)互為逆否命題的真假性相同，我們也可以得到其逆否命題真假；然后再證明其否命題的真假，再根據(jù)其否命題與其逆命題也互為逆否命題，真假性也相同，即可得到其逆命題的真假．

解答 解：（1）逆命題：若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
這是一個真命題，證明如下
∵函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，且a+b≥0得a≥-b，
∴f（a）≥f（-b），同理可得f（b）≥f（-a）
將以上兩個不等式相加，可得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
（2）否命題：若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），則a+b＜0．
這是一個真命題，證明如下
假設結論不成立，即a+b≥0，
則由（1）可得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），與條件f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）矛盾．
所以結論a+b＜0成立，否命題也是一個真命題；
（3）其逆否命題：“若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），則a+b＜0”也為真．
再證否命題“若a+b＜0，則f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）”為真．
a+b＜0⇒a＜-b，b＜-a
⇒f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a）
⇒f（a）+f（b）＜f（-b）+f（-a）．
故其逆命題：“若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0”也為真．

點評 已知原命題，寫出它的其他三種命題，首先把原命題改寫成“若p，則q”的形式，然后找出其條件p和結論q，再根據(jù)四種命題的定義寫出其他命題．逆命題：“若q，則p”；否命題：“若?p，則?q”；逆否命題：“若?q，則?p”，對寫出的命題也可簡潔表述；對于含有大前提的命題，在改寫命題形式時，大前提不要動．