Question

4．設(shè)a為實(shí)參數(shù)，試討論y=asin²x+2cosx-a-2的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由條件利用余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，求得y的最值．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，y=2cosx-2，它的最大值為0，最小值為-4．
當(dāng)a≠0時(shí)，y=asin²x+2cosx-a-2=-acos²x+2cosx-2=-a•${（cosx-\frac{1}{a}）}^{2}$+$\frac{1}{a}$-2，
若a∈（0，1）時(shí)，$\frac{1}{a}$＞1，當(dāng)cosx=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值為-a；當(dāng)cosx=-1時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-a-4．
若a∈[1，+∞）時(shí)，$\frac{1}{a}$∈（0，1]，當(dāng)cosx=$\frac{1}{a}$時(shí)，函數(shù)y取得最大值為$\frac{1}{a}$-2；當(dāng)cosx=-1時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-a-4．
若a∈（-1，0）時(shí)，$\frac{1}{a}$＜-1，當(dāng)cosx=-1時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-a-4；當(dāng)cosx=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值為-a．
若a∈（-∞，1]時(shí)，$\frac{1}{a}$∈[-1，0），當(dāng)cosx=$\frac{1}{a}$時(shí)，函數(shù)y取得最小值為$\frac{1}{a}$-2；當(dāng)cosx=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值為-a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．