Question

14．設(shè)點(diǎn)P（x，y）是曲線a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)（x，y）均滿足$\sqrt{{x^2}+{y^2}+4x+4}+\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x+4}≤8$，則$2a+\sqrt{3}b$的取值范圍為[1，+∞）．

Answer 1

分析 曲線a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），對(duì)x，y分類討論．畫(huà)出圖象：表示菱形ABCD．由$\sqrt{{x^2}+{y^2}+4x+4}+\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x+4}≤8$，即$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}≤8$．設(shè)M（-2，0），N（2，0），可得：2|PM|≤8，|BD|≤8，解出即可．

解答 解：曲線a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），
當(dāng)x，y≥0時(shí)，化為ax+by=1；當(dāng)x≥0，y≤0時(shí)，化為ax-by=1；
當(dāng)x≤0，y≥0時(shí)，化為-ax+by=1；當(dāng)x≤0，y≤0時(shí)，化為-ax-by=1．
畫(huà)出圖象：表示菱形ABCD．
由$\sqrt{{x^2}+{y^2}+4x+4}+\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x+4}≤8$，即$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}≤8$．
設(shè)M（-2，0），N（2，0），可得：2|PM|≤8，|BD|≤8，
∴$\sqrt{4+\frac{1}{^{2}}}≤4$，$\frac{2}{a}≤8$，
解得b≥$\frac{\sqrt{3}}{6}$，a≥$\frac{1}{4}$，
∴$2a+\sqrt{3}b$$≥2×\frac{1}{4}+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$．
∴$2a+\sqrt{3}b$的取值范圍為[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程、分類討論思想方法、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．