分析 (1)求出外接球的半徑,利用取得面積公式求解即可.
(2)證明BE⊥平面ABCD.=以B為原點,BC、BA、BE的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,求出相關(guān)點的坐標,求出平面BDF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z).推出sinφ=$\left|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AK}}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{AK}\right|}\right|$=$\frac{|2+m|}{\sqrt{3}•\sqrt{4+{m}^{2}}}$,結(jié)合$\frac{1}{2}≤$sinφ$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$,即求出BK的取值范圍.
解答 解:(1)三棱錐B-ADF的外接球就是三棱柱DFA-CEB的外接球,球的半徑為R,R=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
外接球的表面積為:4πR2=20π.
(2)解:∵BE=BC=2,CE=2$\sqrt{2}$,∴CE2=BC2+BE2,
∴△BCE為直角三角形,BE⊥BC,…(2分)
又BE⊥BA,BC∩BA=B,BC、BA?平面ABCD,
∴BE⊥平面ABCD. …(6分)
以B為原點,BC、BA、BE的方向分別
為x軸、y軸、z軸的正方向,
建立空間直角坐標系,則B(0,0,0),F(xiàn)(0,2,2),A(0,2,0),$\overrightarrow{BD}$=(2,2,0),$\overrightarrow{BF}=(0,2,2)$.
設(shè)K(0,0,m),平面BDF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z).
由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0$,$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0$,得$\left\{\begin{array}{l}2x+2y=0\\ 2y+2z=0\end{array}\right.$,可取$\overrightarrow{n}=(1,-1,0)$,…(10分)
又$\overrightarrow{AK}$=(0,-2,m),于是sinφ=$\left|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AK}}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{AK}\right|}\right|$=$\frac{|2+m|}{\sqrt{3}•\sqrt{4+{m}^{2}}}$,
∵30°≤φ≤45°,∴$\frac{1}{2}≤$sinφ$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$,即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}≤\frac{|2+m|}{\sqrt{3}•\sqrt{4+{m}^{2}}}\\ \frac{|2+m|}{\sqrt{3}•\sqrt{4+{m}^{2}}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$…(11分)
結(jié)合0<m<2,解得$0<m≤4-2\sqrt{3}$,即BK的取值范圍為(0,$4-2\sqrt{3}$].…(12分)
點評 本題考查幾何體的外接球的表面積的求法,直線與平面所成角的求法與應(yīng)用,考查空間想象能力以及計算能力,
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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A. | 3 | B. | -1 | C. | $1+2\sqrt{3}$ | D. | $1-2\sqrt{3}$ |
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A. | B. | ||||
C. | D. |
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A. | a<b<c | B. | b<a<c | C. | c<b<a | D. | c<a<b |
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A. | f(3)<f(1)<f(2) | B. | f(1)<f(2)<f(3) | C. | f(2)<f(1)<f(3) | D. | f(3)<f(2)<f(1) |
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