Question

設雙曲線C的方程為

x2

4

-y²=1，直線l的方程是y-1=k（x-2）．當k為何值時，直線l與雙曲線C滿足下列條件：
（1）有兩個公共點；
（2）僅有一個公共點；
（3）沒有公共點？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：直線l的方程是y-1=k（x-2），過定點（2，1），正好在一條漸近線上，數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論．

解答： 解：雙曲線的方程為

x2

4

-y²=1，直線方程為y-1=k（x-2），
∴實半軸長a=2，虛半軸b=1，
漸近線方程為y=±

x

2

，
直線經(jīng)過（2，1）點，正好在一條漸近線上，
直線方程化為：y=kx-2k+1，

x2

4

-（kx-2k+1）²-1=0，
x²（1-4k²）+8k（2k-1）x-16k²+16k-8=0，
∴（1）當直線與雙曲線有2個交點時，0≤k＜

1

2

．
（2）當直線與雙曲線有一個交點時，k=-

1

2

．
（3）當直線與雙曲線沒有交點時，k≥

1

2

．

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷，考查學生數(shù)形結(jié)合思想的運用能力，屬中檔題．