Question

設(shè)雙曲線C的方程為

x2

4

-y²=1，直線l的方程是y-1=k（x-2）．當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與雙曲線C滿足下列條件：
（1）有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）僅有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）沒有公共點(diǎn)？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：直線l的方程是y-1=k（x-2），過定點(diǎn)（2，1），正好在一條漸近線上，數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論．

解答： 解：雙曲線的方程為

x2

4

-y²=1，直線方程為y-1=k（x-2），
∴實(shí)半軸長a=2，虛半軸b=1，
漸近線方程為y=±

x

2

，
直線經(jīng)過（2，1）點(diǎn)，正好在一條漸近線上，
直線方程化為：y=kx-2k+1，

x2

4

-（kx-2k+1）²-1=0，
x²（1-4k²）+8k（2k-1）x-16k²+16k-8=0，
∴（1）當(dāng)直線與雙曲線有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0≤k＜

1

2

．
（2）當(dāng)直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k=-

1

2

．
（3）當(dāng)直線與雙曲線沒有交點(diǎn)時(shí)，k≥

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用能力，屬中檔題．