Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2，在側面PAD中，PA=PD，E為側棱PC上不同于端點的任意一點且PA⊥DE．
（1）證明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若PA∥平面BDE，求$\frac{CE}{PE}$的值．

Answer 1

分析 （1）推導出PA⊥平面PCD，從而PA⊥CD，再由AD⊥DC，推導出CD⊥平面PAD，由此能證明平面PAD⊥平面ABCD．
（2）連結AC，交BD于O，連結OE，推導出PA∥OE，從而$\frac{CE}{PE}=\frac{CO}{AO}$，由此能求出結果．

解答 證明：（1）∵E是側棱PC上不同于端點的任意一點，且PA⊥DE，
∴PA⊥平面PCD，
∵CD?平面PCD，∴PA⊥CD，
∵AD⊥DC，PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
解：（2）連結AC，交BD于O，連結OE，
∴平面PAD∩平面BDE于O，
∵PA∥平面BDE，PA?平面PAC，
∴PA∥OE，∴$\frac{CE}{PE}=\frac{CO}{AO}$，
∵AD∥BC，AD=2BC，
∴$\frac{CO}{AO}=\frac{CB}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE}{PE}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查兩線段比值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．