Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{2}{x}$+alnx（x＞0，a為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)g（x）=f（x）-x²的單調性；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)x₁、x₂，求證：當a≤0時，$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}＞f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）構造$t（x）=\frac{{f（x）+f（{x_2}）}}{2}-f（{\frac{{x+{x_2}}}{2}}），x∈（0，+∞）$，求出t（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．

解答 解：（1）$g（x）=f（x）-{x^2}=\frac{2}{x}+alnx$，∴$g'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{a}{x}=\frac{ax-2}{x^2}（x＞0）$．
①當a≤0時，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)；
②當a＞0時，$g'（x）=\frac{{a（x-\frac{2}{a}）}}{x^2}$，
當$0＜x＜\frac{2}{a}$時，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
當$x＞\frac{2}{a}$時，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
∴當a＞0時，g（x）在$（0，\frac{2}{a}）$上為減函數(shù)，g（x）在$（\frac{2}{a}，+∞）$上為增函數(shù)．
（2）證明：以x₁為自變量，構造$t（x）=\frac{{f（x）+f（{x_2}）}}{2}-f（{\frac{{x+{x_2}}}{2}}），x∈（0，+∞）$．
∴$t'（x）=\frac{1}{2}f'（x）-\frac{1}{2}\frac{{f（x+{x_2}）}}{2}$，又$f'（x）=2x-\frac{2}{x^2}+\frac{a}{x}$，
$t'（x）=x-\frac{1}{x^2}+\frac{a}{2x}-\frac{1}{2}[（x+{x_2}）-\frac{8}{{{{（x+{x_2}）}^2}}}+\frac{2a}{{x+{x_2}}}]$=$（x-{x_2}）[\frac{1}{2}+\frac{{3x+{x_2}}}{{{x^2}{{（x+{x_2}）}^2}}}-\frac{a}{{2x（x+{x_2}）}}]$，
∵$\frac{1}{2}＞0，\frac{{3x+{x_2}}}{{{x^2}{{（x+{x_2}）}^2}}}＞0，-\frac{a}{{2x（x+{x_2}）}}＞0$，∴$\frac{1}{2}+\frac{{3x+{x_2}}}{{{x^2}{{（x+{x_2}）}^2}}}-\frac{a}{{2x（x+{x_2}）}}＞0$．
故當x∈（0，x₂）時，t'（x）＜0，t（x）為減函數(shù)；
當x∈（x₂，+∞）時，t'（x）＞0，t（x）為增函數(shù)．
故對一切x∈（0，+∞），t（x）≥t（x₂）=0．當且僅當x=x₂時取等號．
題中x₁≠x₂，故t（x₁）＞0恒成立．得證．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．