Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍，且過點E（

8

5

，

3

5

），又知一圓的方程為（x-1）²+y²=9
（1）求橢圓的方程；
（2）證明存在不垂直于x軸的直線l與已知圓交于A、B兩點，與橢圓交于C、D兩點，且滿足|

AC

|=|

BD

|，并求|

AB

|的范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，即x²+4y²=4b²，代入點E（

8

5

，

3

5

），即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線方程為y=kx+b，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合|

AC

|=|

BD

|，可得x_C+x_D=x_A+x_B，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：由題意，設(shè)橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，即x²+4y²=4b²，
∵橢圓過點E（

8

5

，

3

5

），
∴

64

25

+4•

9

25

=4b²，
∴b²=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）證明：設(shè)直線方程為y=kx+b，則
代入橢圓方程可得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，∴x_C+x_D=-

8kb

1+4k2

，
同理x_A+x_B=

2-2kb

1+k2

，
∵|

AC

|=|

BD

|，
∴x_C-x_A=x_B-x_D，
∴x_C+x_D=x_A+x_B，
∴

2-2kb

1+k2

=-

8kb

1+4k2

，
∴4k²+3kb+1=0，
故直線方程y=kx+b滿足4k²+3kb+1=0時，存在不垂直于x軸的直線l與已知圓交于A、B兩點，與橢圓交于C、D兩點，且滿足|

AC

|=|

BD

|，
由AB⊥x軸時，可知|

AB

|的范圍為（0，1]．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線橢圓、圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，難度大．