Question

已知不等式組

y≤x y≥-x x≤a

表示的平面區(qū)域S的面積為4，若點(diǎn)P（x，y）∈S，則z=3x+y的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABO及其內(nèi)部，根據(jù)三角形面積公式建立關(guān)于a的方程，解得a=2．再將目標(biāo)函數(shù)z=3x+y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=2，y=2時(shí)，z=3x+y取得最大值為8．

解答： 解：根據(jù)題意，可得a是一個(gè)正數(shù)，由此作出不等式組

y≤x y≥-x x≤a

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABO及其內(nèi)部，其中A（a，a），B（a，-a），O（0，0）
∴平面區(qū)域的面積S=

1

2

×2a×a=4，解之得a=2（舍負(fù)）．
設(shè)z=F（x，y）=3x+y，將直線l：z=3x+y進(jìn)行平移，
當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值
∴z_最大值=F（2，2）=3×2+2=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．