Question

已知圓C的方程x²+y²-2x+4y-m=0．
（1）若點(diǎn)A（m，-2）在圓C的內(nèi)部，求m的取值范圍；
（2）若當(dāng)m=4時(shí)①設(shè)P（x，y）為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求（x-4）²+（y-2）²的最值；②問是否存在斜率是1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得m＞-5．再根據(jù)點(diǎn)A（m，-2）在圓C的內(nèi)部，可得 （m-1）²+（-2+2）²＜5+m，由此求得m的范圍．
（2）①（x-4）²+（y-2）²表示圓C上的點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)H（4，2）的距離的平方，求得|HC|=5，故（x-4）²+（y-2）²的最大值為HC加上半徑后的平方，的最小值為HC減去半徑后的平方．
②假設(shè)存在直線l滿足題設(shè)條件，設(shè)l的方程為y=x+m，則AB中點(diǎn)N是兩直線x-y+m=0與y+2=-（x-1）的交點(diǎn)，即N(-

m+1

2

，

m-1

2

)，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求得|AN|=

9- (3+m)2 2

，|ON|=

(- m+1 2 )2+( m-1 2 )2

，由|AN|=|ON|，解得m的值，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）圓C的方程即（x-1）²+（y+2）²=5+m，∴m＞-5．
再根據(jù)點(diǎn)A（m，-2）在圓C的內(nèi)部，可得 （m-1）²+（-2+2）²＜5+m，求得-1＜m＜4．
（2）①當(dāng)m=4時(shí)，圓C的方程即（x-1）²+（y+2）²=5+4=9，而（x-4）²+（y-2）²表示圓C上的點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)H（4，2）的距離的平方，
由于|HC|=

(4-1)2+(2+2)2

=5，故（x-4）²+（y-2）²的最大值為 （5+3）²=64，（x-4）²+（y-2）²的最小值為 （5-3）²=4．
②假設(shè)存在直線l滿足題設(shè)條件，設(shè)l的方程為y=x+m，圓C化為（x-1）²+（y+2）²=9，圓心C（1，-2），
則AB中點(diǎn)N是兩直線x-y+m=0與y+2=-（x-1）的交點(diǎn)，即N(-

m+1

2

，

m-1

2

)，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，
∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=

|1+2+m|

2

，∴|AN|=

9- (3+m)2 2

．
又|ON|=

(- m+1 2 )2+( m-1 2 )2

，由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1．
∴存在直線l，其方程為y=x-4或y=x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，直線與圓相交的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．