Question

已知函數(shù)f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|．
（1）指出f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）并作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）關(guān)于x的不等式kf²（x）-2kf（x）+6（k-7）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）關(guān)于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域和奇偶性、單調(diào)性及值域，并畫出圖象；
（2）運(yùn)用參數(shù)分離，求得右邊的最大值即可；
（3）由函數(shù)的值域，去掉絕對值，再令t=f（x），根據(jù)圖象確定兩根的情況，一個(gè)為2，另一個(gè)介于0和2之間，再由韋達(dá)定理，即可得到n的范圍．

解答： 解：（1）顯然f（x）定義域?yàn)閧x|x≠0}，f（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=-

2

x

，遞增，
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=-2x，遞減，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=2x，遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=

2

x

，遞減．
f（x）的值域?yàn)椋?，2]．
f（x）的圖象如圖所示：

（2）關(guān)于x的不等式kf²（x）-2kf（x）+6（k-7）＞0恒成立，
即為k[f²（x）-2f（x）+6]＞42，即k＞

42

(f(x)-1)2+5

恒成立，
則當(dāng)f（x）=1時(shí)，（f（x）-1）²+5取得最小值5，
即有k＞

42

5

；

（3）由于f（x）＞0，則關(guān)于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0等價(jià)于
f²（x）+mf（x）+n=0，
由于關(guān)于x的方程f²（x）+mf（x）+n=0有6個(gè)不同解，
則令f（x）=t，
則關(guān)于t的方程t²+mt+n=0必有兩解，
由圖象可得，t₁=2，0＜t₂＜2，
則t₁+t₂=-m，t₁t₂=n，
即有-4＜m＜-2，0＜n＜4．
則有n的取值范圍為（0，4）．

點(diǎn)評：本題考查絕對值函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．