Question

已知圓C₁：x²+y²-4x+8y+11=0與C₂：x²+y²-2x+6y+11+2m=0相交，另一圓C與x軸相切，且與圓C₁關(guān)于C₁、C₂的公共弦所在直線L對(duì)稱，求m的值及圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，求出圓C₁關(guān)于公共弦對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，即圓心C的坐標(biāo)，利用圓C與x軸相切，建立條件關(guān)系即可求出m的值．

解答： 解：圓C₁：x²+y²-4x+8y+11=0與圓C₂：x²+y²-2x+6y+11+2m=0的公共弦方程為x-y+m=0，
圓C₁：x²+y²-4x+8y+11=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y+4）²=9，圓心C₁（2，-4），半徑r=3，
圓C₂：x²+y²-2x+6y+11+2m=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y+3）²=-1-2m，圓心C₂（1，-3），半徑r=

-1-2m

，
則-1-2m＞0，即m＜-

1

2

．
∵圓C與圓C₁關(guān)于直線x-y+m=0對(duì)稱，
∴圓C的半徑R=3，
∵圓心C₁（2，-4）關(guān)于x-y+m=0對(duì)稱的點(diǎn)為（-4-m，2+m），
∴C（-4-m，2+m），
∵圓C與x軸相切，
∴|2+m|=3，解得m=1或m=-5，
∴m=-5，此時(shí)圓C₂：（x-1）²+（y+3）²=9，半徑R=3，
|C₁C₂|=

(2-1)2+(-3+4)2

=

2

，
滿足圓C₁與C₂相交，
∴m=-5，此時(shí)C（1，-3），
即圓C的方程為x-1）²+（y+3）²=9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用配方法求出圓心坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．有一定的難度．