如圖所示幾何體是正方體截去三棱錐后所得，點為的中點.

(1) 求證：平面平面；

(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

 

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、向量法等基礎(chǔ)知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，是等腰三角形，M為的中點，所以，同理，利用線面垂直的判定得平面，再利用面面垂直的判定得到平面平面；第二問，利用向量法求二面角的余弦值，先根據(jù)已知條件建立空間直角坐標系，得到平面上點的坐標及向量坐標，根據(jù)公式求出平面的法向量，最后根據(jù)夾角公式求夾角的余弦值.

試題解析：(1) 證明：因為幾何體是正方體截取三棱錐后所得，

.（6分）

(2) 以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)，

依題意知，，

有

設(shè)平面的一個法向量，

有代入得，

設(shè)，有，平面的一個法向量，

設(shè)平面與平面所成銳二面角大小為，有，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為. （12分）

考點：線線垂直、線面垂直、面面垂直、向量法.

 

練習冊系列答案
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A B C D

 

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（1）若是橢圓在第一象限上一點，且，求點坐標；（5分）

（2）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同兩點，且為銳角（其中為原點），求直線的斜率的取值范圍.（7分）

 

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