Question

設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且滿足：2S_n=a_n（a_n+1）
（1）求a_n；
（2）若Tn=

n

i=1

(ai+1)•2i，求T_n．
（3）設(shè)m，np∈N^*，且m+n=2p，比較

1

S 2 m

+

1

S 2 n

與

2

S 2 p

的大小．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1代入已知遞推公式可求a₁，然后由2sn=an2+an，可得2sn-1=an-12+an-1，n≥2
兩式相減整理可得a_n-a_n-1=1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）結(jié)合已知數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)，考慮利用錯(cuò)位相減求和
（3）由已知，結(jié)合基本不等式可得，（m+!）（n+1）≤(

m+n+2

2

)2=（p+1）²，即可比較大小

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2s₁=2a₁=a₁（1+a₁），得a₁=1 …（1分）
∵2sn=an2+an，
∴2sn-1=an-12+an-1，n≥2   
兩式相減得：2an=an2-an-12+an-an-1
整理可得，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1=1 故{a_n}為等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n    …（4分）
（2）Tn=2•2+3•22+…+(n+1)•2n
 2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹    
兩式相減可得，-T_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1
=2ⁿ⁺¹-（n+1）•2ⁿ⁺¹ 
∴Tn=n•2n+1              …（7分）
（3）

1

S 2 m

+

1

S 2 n

與

2

S 2 p

的大小為

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

∵2p=m+n≥2

mn

∴mn≤p²
∴（m+1）（n+1）≤(

m+n+2

2

)2=（p+1）²

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

smsn

=

8

mn(m+1)(n+1)

≥

8

p2(p+1)2

=

2

sp2

…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)及錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用，還綜合了基本不等式的應(yīng)用