Question

8．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{a_n}滿足S_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+2）^{2}}$，它的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有T_n＜$\frac{1}{2}$成立．

Answer 1

分析 （1）令n等于1代入2S_n=a_n²+a_n中，即可求出首項(xiàng)a₁，然后把n換為n-1，得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，即可得所以{a_n}為以a₁=1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
（2）根據(jù)b_n的通項(xiàng)公式，利用放縮法和裂項(xiàng)求和即可證明．

解答 解：（I）由S_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}}{2}$可得：2S_n=a_n²+a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，由2S₁=a₁²+a₁，且a_n＞0可得：a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n=a_n²+a_n…①
2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，…②…（3分）
由  ①-②得：2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，…②，
即：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1-1=0
∴{a_n}為以a₁=1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，a_n=n （n∈N*），
（II）由b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+2）^{2}}$=$\frac{1}{（n+2）^{2}}$＜$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+2）^{2}}$＜（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$ ）＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{1}{2}$
∴對(duì)任意正整數(shù)，都有T_n＜$\frac{1}{2}$成立

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)列遞推式的求解通項(xiàng)公式，以及放縮法和裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．