Question

4．已知f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）（a≠1，a＞0），求f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$lna（a^x+a^-x），從而判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：∵f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），
∴f′（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$lna（a^x+a^-x），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$lna＞0，a^x+a^-x＞0，
故f′（x）＞0；
當(dāng)a＞1時(shí)，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$lna＞0，a^x+a^-x＞0，
故f′（x）＞0；
故f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．