Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax³+cx（a＞0），其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線 x-6y+21=0垂直，導(dǎo)函數(shù)
f′（x）的最小值為-12．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在x∈[-2，2]的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，再由二次函數(shù)的最值求法，可得a，c的值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得極值，以及端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得到值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+cx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²+c，
其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=3a+c，
切線與直線 x-6y+21=0垂直，可得3a+c=-6，
f′（x）的最小值為-12，即有c=-12，
解得，a=2，c=-12；
（2）函數(shù)f（x）=2x³-12x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=6x²-12，
由f′（x）=0，可得x=±$\sqrt{2}$，
由f（$\sqrt{2}$）=-8$\sqrt{2}$，f（-$\sqrt{2}$）=8$\sqrt{2}$，
f（-2）=8，f（2）=-8．
可得f（x）在[-2，2]的最大值為8$\sqrt{2}$，最小值為-8$\sqrt{2}$．
即有函數(shù)的值域?yàn)閇-8$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和極值、最值，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．