Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=8$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{3π}{4}$），曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)）．
（1）將曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將曲線C₂的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）若P是曲線C₂上的動點(diǎn)，求P到直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）將極坐標(biāo)方程展開，兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出C₁的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系消元得出C₂的普通方程；
（2）求出直線l的普通方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得出P到直線l的距離d關(guān)于θ的函數(shù)，利用三角恒等變換得出d的最大值．

解答 解：（1）∵曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=8$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{3π}{4}$），
∴ρ=8sinθ-8cosθ，∴ρ²=8ρsinθ-8ρcosθ，
∴曲線C₁的極坐標(biāo)方程為x²+y²-8y+8x=0，即（x+4）²+（y-4）²=32．
∵曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)）
∴曲線C₂的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
（2）直線l的普通方程為x-2y-7=0．
∴P（8cosθ，3sinθ）到直線l的距離d=$\frac{|8cosθ-6sinθ-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|10cos（θ+φ）-7|}{\sqrt{5}}$．
∴當(dāng)cos（θ+φ）=-1時，d取得最大值$\frac{17}{\sqrt{5}}$=$\frac{17\sqrt{5}}{5}$．
∴P到直線l的最大距離為$\frac{17\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．