已知數(shù)列{an}的通項公式an=
1
n2
,證明{an}的前n項和小于
7
4
考點:數(shù)列的求和
專題:點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:對n分類討論n=1和n≥2,當(dāng)n≥2時利用n2>n2-1得
1
n2
1
n2-1
,由放縮法和裂項相消求和法進行證明.
解答: 解:當(dāng)n=1時,s1=a1=1<
7
4
,
當(dāng)n≥2時,n2>n2-1,則
1
n2
1
n2-1
=
1
2
(
1
n-1
-
1
n+1
)
,
所以數(shù)列{an}的前n項和Sn<1+
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
n-1
-
1
n+1
)
]
=1+
1
2
(1+
1
2
-
1
n
-
1
n+1
)=
7
4
-
1
2
1
n
+
1
n+1
)<
7
4
,
綜上得,數(shù)列{an}的前n項和Sn
7
4
點評:本題考查利用放縮法證明數(shù)列有關(guān)不等式的問題,以及裂項相消求和法,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C分別對應(yīng)邊a,b,c,B(-1,0),C(1,0),求滿足sinC-sinB=
1
2
sinA,頂點A的軌跡.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在等差數(shù)列{an}中,若S4=1,S8=4,則a17+a18+a19+a20的值為(  )
A、9B、12C、16D、17

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若集合U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},則∁U(M∪N)是( 。
A、{1,2,3}
B、{4}
C、{1,3,4}
D、{2}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=
log2(2x-1)
的定義域為(  )
A、(
1
2
,+∞)
B、[1,+∞)
C、(
1
2
,1]
D、(-∞,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知tanα=
2
3
,則
3sinα-6cosα
sinα+5cosα
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x,y滿足
x-y≥a
x+y≤1
,且z=ax-2y的最小值是1,則實數(shù)a=( 。
A、-4B、1
C、-4或1D、-1或4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=x2-4x-m+4(-1≤x<4)有兩個零點,則m的取值范圍是( 。
A、(0,9]
B、(4,9)
C、(0,4)
D、[2,4]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于實數(shù)a和b,定義運算“?”:a?b=
a2-ab,a≤b
b2-ab,a>b
,設(shè)f(x)=(3x-1)?(x-1).且關(guān)于x的方程f(x)=m恰有三個不相等的實數(shù)根x1,x2,x3,則x1+x2+x3的取值范圍是
 

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