Question

已知點(diǎn)A是拋物線y²=4x上的動(dòng)點(diǎn)，l₁是過(guò)點(diǎn)A的拋物線的一條切線，設(shè)A（x₁，y₁），求證：l₁的方程為y₁y=2（x+x₁）

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)過(guò)點(diǎn)A的切線方程是y-y₁=k（x-x₁），代入y²=4x得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，由相切利用△=0化簡(jiǎn)，再把點(diǎn)A帶拋物線方程得：x₁=

y12

4

，代入再化簡(jiǎn)求出k，代入切線方程化簡(jiǎn)可得過(guò)點(diǎn)A的切線方程．

解答： 證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)A的切線方程是y-y₁=k（x-x₁），且k≠0
代入y²=4x得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，
∵l₁是過(guò)點(diǎn)A的拋物線的一條切線，
∴△=0，即16=16k（y₁-kx₁），則1=ky₁-k²x₁，①
因?yàn)锳（x₁，y₁）在拋物線y²=4x上，所以y12=4x₁，即x₁=

y12

4

，
代入①得，1=ky₁-

k2y12

4

，即(ky1)2-4ky1+4=0，
解得ky₁=2，所以k=

2

y1

，代入y-y₁=k（x-x₁），
化簡(jiǎn)得y₁y-y12=2（x-x₁）則y₁y-4x₁=2（x-x₁），即y₁y=2（x+x₁），
∴過(guò)點(diǎn)A的切線方程是y₁y=2（x+x₁）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，切線方程的求法，注意點(diǎn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．