若函數(shù)fA（x）的定義域為A=[a，b），且fA（x）=（
x
a
+
b
x
-1）2-
2b
a
+1，其中a、b為任意正實數(shù)，且a＜b．
（1）當A=[4，7）時，研究fA（x）的單調(diào)性（不必證明）；
（2）寫出fA（x）的單調(diào)區(qū)間（不必證明），并求函數(shù)fA（x）的最小值、最大值．
考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）A=[4，7）時，根據(jù)
x
4
+
7
x
≥
7
，得出fA（x）的增減區(qū)間是什么；
（2）由（1）歸納得出fA（x）在x∈[a，b）上的增減性以及最值是什么．
解答： 解：（1）當A=[4，7）時，fA（x）=(
x
4
+
7
x
-1)2-
2×7
4
+1
∵
x
4
+
7
x
≥
7
，當且僅當x=2
7
時“=”成立，
∴當x∈[4，2
7
]時fA（x）是減函數(shù)，
當x∈[2
7
，7）時fA（x）是增函數(shù)；
（2）fA（x）=(
x
a
+
b
x
-1)2-
2b
a
+1在x∈[a，
ab
]上fA（x）是減函數(shù)，
在x∈[
ab
，b）上fA（x）是增函數(shù)；
∴當x=
ab
時fA（x）有最小值為(2
b
a
-1)2-
2b
a
+1=
2b
a
-4
b
a
+2=2(
b
a
-1)2，
當x=a時fA（x）有最大值為(
b
a
)2-
2b
a
+1=(
b
a
-1)2．
點評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題以及求函數(shù)最值的問題，是中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某運動隊有男女運動員49人，其中男運動員有28人，按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運動員中抽出一個容量為14的樣本，那么應(yīng)抽取女運動員人數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集A={x∈N|x2+2x-3≤0}，B={y|y⊆A}，則集合B中元素的個數(shù)為（　　）
A、2B、3C、4D、5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=
x-1
x+1
，則f（x）+f（
1
x
）等于（　�。�
A、
1-x
x
B、
1
x
C、0
D、-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在長方體中，AB=b，BC=c，CC1=a，且a＞b＞c，求沿著長方體表面A到C1最短路線長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
log
1
2
x		x≥1
exx＜1
的值域為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

雙曲線C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=
1
2
x，其右焦點到該直線的距離等于
5
；點P是圓x2+y2=a2上的動點，作PD⊥x軸于D，且
DE
=
3
2
DP
．
（1）求點E的軌跡C2的方程
（2）已知P（0，-
1
2
），是否存在直線y=kx+m與軌跡C2，相交于不同的兩點M，N，且|PM|=|PN|，若存在，求實數(shù)m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，PA與⊙O切于點A，過點P的割線與弦AC交于B，與⊙O交于D、E，且PA=PB=BC，若PD=4，DE=21，則AB=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1-|x-1|，x∈(-∞，2)
1
2
f(x-2)，x∈[2，+∞)
，則函數(shù)xf（x）-1零點的個數(shù)為
 
．

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