Question

設函數f（x）=

1-|x-1|，x∈(-∞，2) 1 2 f(x-2)，x∈[2，+∞)

，則函數xf（x）-1零點的個數為

 

．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：函數的性質及應用

分析：由F（x）=0得f（x）=

1

x

，然后分別作出函數f（x）與y=

1

x

的圖象，利用數形結合即可得到函數零點的個數．

解答： 解：xf（x）-1=0，可得f（x）-

1

x

=0，
F（x）=f（x）-

1

x

=0得f（x）=

1

x

，然后分別作出函數f（x）與y=g（x）=

1

x

的圖象如圖：
∵當x≥2時，f（x）=

1

2

f（x-2），
∴f（1）=1，g（1）=1，
f（1）=1，g（1）=1，
f（3）=

1

2

f（1）=

1

2

，g（3）=

1

3

，
f（5）=

1

2

f（3）=

1

4

，g（5）=

1

5

，
f（7）=

1

2

f（5）=

1

8

，g（7）=

1

7

，
∴當x＞7時，f（x）＜

1

x

，
由圖象可知兩個圖象的交點個數為6個．
故答案為：6．

點評：本題主要考查方程和函數之間的關系，根據函數零點個數的判斷，轉化為兩個函數圖象的交點問題是解決本題的關鍵，利用數形結合是解決本題的基本思想．本題難度較大，綜合性較強．