Question

2．如圖，圓錐的頂點為P，底面圓心為O，線段AB和線段CD都是底面圓的直徑，且直線AB與直線CD的夾角為$\frac{π}{2}$，已知|OA|=1，|PA|=2．
（1）求該圓錐的體積；
（2）求證：直線AC平行于平面PBD，并求直線AC到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）利用圓錐的體積公式求該圓錐的體積；
（2）由對稱性得AC∥BD，即可證明直線AC平行于平面PBD，C到平面PBD的距離即直線AC到平面PBD的距離，由V_C-PBD=V_P-BCD，求出直線AC到平面PBD的距離．

解答 （1）解：設圓錐的高為h，底面半徑為r，則r=1，h=$\sqrt{3}$，
∴圓錐的體積V=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{\sqrt{3}}{3}π$；
（2）證明：由對稱性得AC∥BD，
∵AC?平面PBD，BD?平面PBD，
∴AC∥平面PBD，
∴C到平面PBD的距離即直線AC到平面PBD的距離，
設C到平面PBD的距離為d，則由V_C-PBD=V_P-BCD，得$\frac{1}{3}{S}_{△PBD}•d=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$，
可得$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{7}}{2}d=\frac{1}{3}•1•\sqrt{4-1}$，∴d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴直線AC到平面PBD的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查圓錐體積的計算，考查線面平行的判定，考查體積的計算，屬于中檔題．