Question

17．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=$\frac{x}{4x+1}$的圖象上，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）a_k•a_k+1是否為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，并作說(shuō)明．

Answer 1

分析 （1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，兩邊取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）求得a_k•a_k+1，化簡(jiǎn)整理，可得形如數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式的形式，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=$\frac{x}{4x+1}$的圖象上，
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{4{a}_{n}+1}$，
兩邊取倒數(shù)得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+4，
得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=4，
則數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列；
即有b_n=1+4（n-1）=4n-3，a_n=$\frac{1}{4n-3}$；
（2）由a_k•a_k+1=$\frac{1}{4k-3}$•$\frac{1}{4k+1}$
=$\frac{1}{16{k}^{2}-8k-3}$=$\frac{1}{4（4{k}^{2}-2k）-3}$，
而4k²-2k=2k（2k-1）∈N，
即有a_k•a_k+1為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查“取倒數(shù)法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式、把已知等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．