如圖在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M為AC的中點.
(1)求證:PM⊥平面ABC;
(2)求直線BP與平面ABC所成的角的正切值.
(3)求三棱錐P-ABC的體積.
分析:(1)作PO⊥平面ABC于點O,由PA=PB=PC,知O為△ABC的外心,由∠ABC=90°,知O為AC邊的中點,即O與M點重合,由此能夠證明PM⊥平面ABC;
(2)由(1)知PM⊥平面ABC,連結(jié)MB,則∠PBM就是直線BP與平面ABC所成的角,在直角三角形PBM中,利用邊與角的關(guān)系即可求出答案.
(3)直接利用錐體的體積公式V=
1
3
•S△ABC•PM即可得出答案.
解答:證明:(1)作PO⊥平面ABC于點O,
∵PA=PB=PC,
∴OA=OB=OC,即O為△ABC的外心
又∵△ABC中,∠ABC=90°,∴O為AC邊的中點,
∴O與M點重合,
∴PM⊥平面ABC;
(2)連結(jié)MB,則∠PBM就是直線BP與平面ABC所成的角,
在直角三角形PBM中,PB=13,PM=12,BM=
1
2
AC=5
∴tan∠PBM=
12
5
;
(2)三棱錐P-ABC的體積V=
1
3
•S△ABC•PM=
1
3
×
1
2
×8×6×12
=96.
點評:本題考查直線與平面垂直的判定,考查直線與平面所成的角的求法,解題時要認真審題,仔細解答.
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精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點D,E分別在棱PB,PC上,且DE∥BC,
(1)求證:BC⊥平面PAC
(2)當D為PB中點時,求AD與平面PAC所成的角的余弦值;
(3)是否存在點E,使得二面角A-DE-P為直二面角,并說明理由.

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3
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如圖在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點D,E分別在棱PB,PC上,且DE∥BC,
(1)求證:BC⊥平面PAC
(2)當D為PB中點時,求AD與平面PAC所成的角的余弦值;
(3)是否存在點E,使得二面角A-DE-P為直二面角,并說明理由.

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