Question

設定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導函數(shù)，當x∈[0，π]時；0＜f（x）＜2；當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，(x-

π

2

)f′(x)＞0，則函數(shù)y=f（x）-|tanx|在區(qū)間[-2π，2π]上的零點個數(shù)為（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,導數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用函數(shù)的奇偶性和周期性，作出兩個函數(shù)的圖象，即可判斷函數(shù)零點的個數(shù)．

解答： 解：∵當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，(x-

π

2

)f′(x)＞0，
∴當

π

2

＜x＜π時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增，
當0＜x＜

π

2

時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減，
由y=f（x）-|tanx|=0得f（x）=|tanx|，
∵f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，
∴作出函數(shù)y=f（x）和y=|tanx|在區(qū)間[-2π，2π]上的圖象如圖：
則兩個函數(shù)圖象有8個交點，
即函數(shù)數(shù)y=f（x）-|tanx|在區(qū)間[-2π，2π]上的零點個數(shù)為8個，
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，利用函數(shù)的奇偶性和周期性的性質是解決本題的關鍵，綜合考查函數(shù)性質的應用．