Question

【題目】凸邊形玫瑰園的個頂點各栽有1棵紅玫瑰，每兩棵紅玫瑰之間都有一條直小路想通，這些直小路沒有出現(xiàn)“三線共點”的情況——它們把花園分割成許多不重疊的區(qū)域（三角形、四邊形、……），每塊區(qū)域都栽有一棵白玫瑰（或黑玫瑰）.

（1）求出玫瑰園里玫瑰總棵樹的表達式.

（2）花園里能否恰有99棵玫瑰？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）解法1：玫瑰園的直小路組成一個凸邊形及其對角線，易知圖中對角線有條.又由對角線無“三線共點”知，對角線在形內(nèi)的交點有個.下面先求邊形內(nèi)的區(qū)域塊數(shù)，可得.

現(xiàn)取掉對角線，記與其他對角線有個交點，則圖形減少了塊區(qū)域.記剩下的圖形為.

在中取掉對角線，記在中與其他對角線（不包括）有個交點，則圖形減少了塊區(qū)域.記剩下的圖形為.

依此類推，每次都在剩下的圖形中取掉一條對角線.當取掉最后一條對角線時，其上再無與其他剩下對角線的交點，圖形減少了1塊區(qū)域，最后還剩下1塊區(qū)域，有.求和.

從而，.

解法2：在每兩頂點間連一條弧線，新增加了塊弓形區(qū)域，設想每一塊弓形區(qū)域移栽頂點上的紅玫瑰，則玫瑰的棵樹就是區(qū)域的塊數(shù).這個問題正是本刊1999年第3期數(shù)學奧林匹克高中訓練題（38）中的一道題，現(xiàn)給出一種新的證法.

考慮與的遞推關系（如圖所示）.

對個點的情況增加一點時，與前個點有條連線（上圖中虛線），此時圖中共有個對角線交點，共增加新交點個.由于每一條連線與原邊形中的邊或對角線有個交點時，這些交點便把分成條互不重疊的小線段，每條這樣的小線段都把所在的區(qū)域一分為二，所以，連線就增加了塊區(qū)域.求和

從而，

（2）通項公式可以改寫成

問題轉化為方程

的求解.變形，

即

因為為正整數(shù)，有.

解得.

所以，當時，玫瑰園恰有99棵玫瑰.