Question

已知定點(diǎn)A(-

3

，0)，B(

3

，0)，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足：||AP|-|BP||=2；
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）直線(xiàn)mx-y+1=0與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用雙曲線(xiàn)的定義，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）直線(xiàn)方程代入雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)直線(xiàn)mx-y+1=0與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡只有一個(gè)交點(diǎn)，分類(lèi)討論，即可求實(shí)數(shù)m的值．

解答： 解：（1）∵定點(diǎn)A(-

3

，0)，B(

3

，0)，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足：||AP|-|BP||=2，
∴||AP|-|BP||=2＜|AB|=2

3

，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，且a=1，c=

3

，
∴b=

c2-a2

=

2

，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x2-

y2

2

=1；
（2）由mx-y+1=0可得y=mx+1，
代入x2-

y2

2

=1，可得x2-

(mx+1)2

2

=1，
即（2-m²）x²-2mx-3=0．
①2-m²=0，即m=±

2

時(shí)，方程只有一個(gè)解，滿(mǎn)足題意；
②2-m²≠0時(shí)，△=4m²+12（2-m²）=0，解得m=±

3

，
綜上所述，m=m=±

2

或m=±

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．