Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，得到f′（x）≥0，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．，

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，
∴f′（x）=

-ax-(1-x)a

a2x2

+

1

x

=

a2x-a

a2x2

，
∵f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=

a2x-a

a2x2

≥0恒成立，即a²x-a=a（ax-1）≥0恒成立，
若a＞0時(shí)，則等價(jià)為ax≥1，即a≥1，
若a＜0時(shí)，則等價(jià)為ax≤1，則a≤

1

x

，則a＜0，
綜上所述：a∈（-∞，0）∪[1，+∞）．
（2）f′（x）=

-ax-(1-x)a

a2x2

+

1

x

=

a2x-a

a2x2

=

ax-1

ax2

，定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a＜0時(shí)，ax²＜0，ax-1＜0，此時(shí)f′（x）=

ax-1

ax2

＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=

ax-1

ax2

=0，解得x=

1

a

，則f（x）在（0，

1

a

）上為減函數(shù)，
在（

1

a

，+∞）上為增函數(shù)，
即f（

1

a

）=

1- 1 a

a• 1 a

+ln

1

a

=1-

1

a

-lna＜0即可，
令g（a）=1-

1

a

-lna，則g′（a）=

1

a2

-

1

a

=

1-a

a2

=0，
解得a=1，即g（a）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，
又g（1）=1-1-ln1=0，則1-

1

a

-lna＜0等價(jià)為a∈（0，1）∪（1，+∞）．
綜上所述：a∈（0，1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．綜合性較強(qiáng)，難度較大．