Question

已知數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺），其前n項和為S_n，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）記T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，n∈N⁺，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接設(shè)出首項和公差，根據(jù)條件求出首項和公差，即可求出通項．
（2）借助于錯位相減法求出T_n的表達(dá)式；

解答： 解：（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺），知{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，得方程組

2+3d+2q3=27 8+6d-2q3=10

，
解得

d=3 q=2

，
所以：a_n=3n-1，b_n=2ⁿ．
（2）由（Ⅰ）知a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，
T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
則T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①；
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②．
由①-②得，-T_n=2×2+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=

6×(1-2n)

1-2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8．
所以T_n=（3n-4）×2ⁿ⁺¹+8．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題并考查計算能力．解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識，基本方法．