Question

如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=

2

，點M，N分別在線段PA和BD上，BN=

1

3

BD．
（1）若PM=

1

3

PA，求證：MN⊥AD；
（2）若二面角M-BD-A的大小為

π

4

，求線段MN的長度．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）連接AC，BD交于點O，以OA為x軸正方向，以OB為y軸正方向，OP為z軸建立空間直角坐標系．利用向量法能證明MN⊥AD．
（2）設

PM

=λ

PA

，得M（λ，0，1-λ），

BM

=(λ，-1，1-λ)，

BD

=(0，-2，0)，分別求出平面MBD的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法解得λ=

1

2

，由此能求出線段MN的長度．

解答： （本小題滿分10分）
（1）證明：連接AC，BD交于點O，以OA為x軸正方向，以OB為y軸正方向，
OP為z軸建立空間直角坐標系．
∵PA=AB=

2

，則A（1，0，0），B（0，1，0），
D（0，-1，0），P（0，0，1）．

BN

=

1

3

BD

，得N（0，

1

3

，0），
由

PM

=

1

3

PA

，得M（

1

3

，0，

2

3

），

MN

=(-

1

3

，

1

3

，-

2

3

)，

AD

=(-1，-1，0)，
∵

MN

•

AD

=0，∴MN⊥AD．
（2）∵M在PA上，設

PM

=λ

PA

，得M（λ，0，1-λ），
∴

BM

=(λ，-1，1-λ)，

BD

=(0，-2，0)，
設平面MBD的法向量

n

=(x，y，z)，
由

n • BD =0 n • BM =0

，得

-2y=0 λx-y+(1-λ)z=0

，
取z=λ，得

n

=(λ-1，0，λ)，
∵平面ABD的法向量為

OP

=(0，0，1)，二面角M-BD-A的大小為

π

4

，
∴cos

π

4

=|

n • OP

| n || OP |

|，即

2

2

=

λ

(λ-1)2+λ2

，解得λ=

1

2

，
∴M（

1

2

，0，

1

2

），N（0，

1

3

，0），
∴|MN|=

( 1 2 -0)2+(0- 1 3 )2+( 1 2 -0)2

=

22

6

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．