Question

已知軸對(duì)稱平面五邊形ADCEF（如圖1），BC為對(duì)稱軸，AD⊥CD，AD=AB=1，CD=BC=

3

，將此圖形沿BC折疊成直二面角，連接AF、DE得到幾何體（如圖2）．
（1）證明：AF∥平面DEC；      
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BF，BC，BA為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AF∥平面DEC．
（2）分別求出平面ADEF的法向量和平面ABCD的法向量，利用向量法能求出二面角E-AD-B的余弦值．

解答： （1）證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BF，BC，BA為x軸、y軸、z軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由已知條件與平面向何知識(shí)得：
A（0，0，1），F(xiàn)（1，0，0），D（0，

3

2

，

3

2

），E（

3

2

，

3

2

，0），
∴

AF

=（1，0，-1），

DE

=(

3

2

，0，-

3

2

)，
∴

AF

=

2

3

DE

，∴AF∥DE，
又DE?平面DCE，且AF不包含平面DCE，
∴AF∥平面DEC．
（2）解：由（Ⅰ）得A、D、E、F四點(diǎn)共面，

AF

=(1，0，-1)，

AD

=(0，

3

2

，

1

2

)，
設(shè)平面ADEF的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AF =x-z=0 n • AD = 3 2 y+ 1 2 z=0

，
令y=-1，得

n

=(

3

，-1，

3

)，
由已知得平面ABCD的一個(gè)法向量為

m

=（1，0，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

3

7

=

21

7

，
∴二面角E-AD-B的余弦值為

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．