Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x+1．
（Ⅰ）分析f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈（1，+∞）時，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出${f^'}（x）=\frac{1-x}{x}（x＞0）$，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）設(shè)F（x）=xlnx-x+1，x＞1，利用導(dǎo)函數(shù)F′（x）=1+lnx-1=lnx，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后最后證明原不等式成立；

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=lnx-x+1，有${f^'}（x）=\frac{1-x}{x}（x＞0）$，則f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）遞減；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈（1，+∞）時，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x，即為lnx＜x-1＜xlnx．
結(jié)合（Ⅰ）知，當(dāng)x＞1時f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（1，+∞）遞減，
可得f（x）＜f（1）=0，即有l(wèi)nx＜x-1；
設(shè)F（x）=xlnx-x+1，x＞1，F(xiàn)′（x）=1+lnx-1=lnx，
當(dāng)x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，可得F（x）遞增，即有F（x）＞F（1）=0，
即有xlnx＞x-1，則原不等式成立；

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．