Question

4．求已知點(diǎn)P（5，0）及圓C：x²+y²-4x-8y-5=0，若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦AB長(zhǎng)是8，則直線 l的方程是x-5=0或7x+24y-35=0．

Answer 1

分析 當(dāng)直線l₂的斜率不存在時(shí)，利用垂徑定理算出弦AB的長(zhǎng)為8，此時(shí)l₂方程為x=5符合題意；當(dāng)直線l₂的斜率存在時(shí)設(shè)l₂的方程為y=k（x-5），利用點(diǎn)到直線的距離公式和垂徑定理加以計(jì)算，可得k=-$\frac{7}{24}$，得到l₂方程為7x+24y-35=0．最后加以綜合即可得到滿足條件的直線l₂的方程．

解答 解：①當(dāng)直線l₂的斜率不存在時(shí)，其方程為x=5，
∵圓心C到x=5距離等于3，
∴弦AB的長(zhǎng)為2$\sqrt{25-9}$=8，滿足題意；
②當(dāng)直線l₂的斜率存在時(shí)，設(shè)l₂方程為y=k（x-5），
∵弦AB長(zhǎng)是8，∴圓心C到直線l₂的距離d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{1}{2}|AB|）^{2}}$=3，
∵l₂方程為y=k（x-5），即kx-y-5k=0，
∴$\frac{|-3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，解之得k=-$\frac{7}{24}$，可得直線l₂方程是7x+24y-35=0
綜上所述，可得直線l₂方程為x-5=0或7x+24y-35=0，
故答案為x-5=0或7x+24y-35=0．

點(diǎn)評(píng) 本題給出已知圓和點(diǎn)P，求被圓截得弦長(zhǎng)為8的直線方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．