Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x²-4x+3），求：
（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的值域、定義域．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)函數(shù)的定義域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令t=x²-4x+3=（x-2）²-1＞0，求得函數(shù)的定義域，且f（x）=log_at．分當(dāng)a＞1時(shí)、當(dāng)0＜a＜1時(shí)兩種情況，分別求出函數(shù)t在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）令對數(shù)的真數(shù)大于零，求得x的范圍，即是函數(shù)的定義域；由于真數(shù)能取遍所有的正實(shí)數(shù)，可得f（x）的值域?yàn)镽．

解答： 解：（1）令t=x²-4x+3=（x-2）²-1＞0，求得x＜1，或 x＞3，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（3，+∞），且f（x）=log_at．
當(dāng)a＞1時(shí)，由于函數(shù)t的減區(qū)間為（-∞，1），
故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，-1）；
由于函數(shù)t的增區(qū)間為（3，-∞），故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（3，+∞）．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由于函數(shù)t的減區(qū)間為（-∞，1），
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1）；
由于函數(shù)t的增區(qū)間為（3，-∞），故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（3，+∞）．
（2）∵函數(shù)f（x）=log_a（x²-4x+3），
∴x²-4x+3＞0，求得x＜1，或 x＞3，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（3，+∞）．
由于t=x²-4x+3=（x-1）（x-3）能取遍所有的正實(shí)數(shù)，
故f（x）=log_a（x²-4x+3）的值域?yàn)镽．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．