Question

1．如圖，正方形ACDE與等腰直角△ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F(xiàn)、G分別是線段AE、BC的中點(diǎn)，求
（1）求三棱錐C-EFG的體積；
（2）AD與GF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由平面ABC⊥平面ACDE可得BC⊥平面ACDE，把△CEF當(dāng)做棱錐的底，則棱錐的高為CG，代入體積公式計(jì)算即可．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GF}$的坐標(biāo)，使用向量的夾角公式求出夾角．

解答 解：（1）∵平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE=AC，BC⊥AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面ACDE，
∵F、G分別是線段AE、BC的中點(diǎn)，∴CG=$\frac{1}{2}$BC=1，EF=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$EF•AC=1，∴V_棱錐C-EFG=V_棱錐G-CEF=$\frac{1}{3}$S_△CEF•CG=$\frac{1}{3}$．
（2）以CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），D（0，0，2），G（0，1，0），F(xiàn)（2，0，1）．
∴$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{GF}$=（2，-1，1），∴|$\overrightarrow{AD}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{GF}$|=$\sqrt{6}$，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{GF}$=-2．
∴cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GF}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{GF}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{GF}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
AD與GF所成角指的是異面直線所成的角，其取值范圍是（0°，90°]，所以其余弦值應(yīng)為正值．
∴AD與GF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間角的計(jì)算和棱錐的體積計(jì)算，對(duì)于空間角的問題常采用向量法解決，屬于中檔題．