Question

5．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥平面AA₁C₁C，AB=2$\sqrt{2}$，AA₁=AC=4，∠A₁C₁C=60°，D、E分別為A₁C，AB₁的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求點B到平面AB₁C的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出DE∥CB，由此能證明DE∥平面ABC．
（Ⅱ）取AA₁的中點為F，連結(jié)CF，由${V}_{C-AB{B}_{1}}={V}_{B-A{B}_{1}C}$，能求出點B到平面AB₁C的距離．

解答 證明：（Ⅰ）E為AB₁的中點，即E為AB₁與A₁B的交點，
又D為A₁C的中點，∴DE∥CB，
∵DE?平面ABC，CB?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
解：（Ⅱ）取AA₁的中點為F，連結(jié)CF，
∵AA₁=AC=4，∠A₁C₁C=60°，得△ACA₁為正三角形，
∴CF⊥AA₁，且CF=2$\sqrt{3}$，
∵BA⊥平面AA₁C₁C，∴BA⊥CF，
∴CF⊥平面ABB₁A₁，
在直角△B₁A₁C中，A₁B₁=2$\sqrt{2}$，A₁C=4，則B₁C=2$\sqrt{6}$，
在等腰△AB₁C中，$A{B}_{1}={B}_{1}C=2\sqrt{6}$，AC=4，
∴${S}_{△A{B}_{1}C}$=4$\sqrt{5}$，
設點B到平面AB₁C的距離為h，
∵${V}_{C-AB{B}_{1}}={V}_{B-A{B}_{1}C}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×B{B}_{1}×CF=\frac{1}{3}×{S}_{△A{B}_{1}C}×h$，
解得h=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴點B到平面AB₁C的距離為$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．