Question

已知使函數(shù)f（x）=x³-ax²+1（0≤a≤M₀）存在整數(shù)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a恰有3個，則M₀的取值范圍是

[

9

4

，

28

9

)．

．

Answer 1

分析：通過對a分類討論，令f（x）=0，用x表示a，利用導(dǎo)數(shù)探究其單調(diào)性，找出取得整數(shù)零點(diǎn)的最小的三個、四個a 的值即可得出M₀的取值范圍．

解答：解：①當(dāng)a=0時，f（x）=x³+1=（x+1）（x²-x+1）存在一個整數(shù)零點(diǎn)-1，滿足條件；
②當(dāng)a≠0時，∵x=0時，f（0）=1≠0，∴0不是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
由f（x）=x³-ax²+1=0（x≠0）可得a=x+

1

x2

，
令g（x）=x+

1

x2

，則g′(x)=1-

2

x3

=

x3-2

x3

，
令g^′（x）=0，解得x=

3	2

，列表得：
由表格可知：g（x）在區(qū)間(0，

3	2

)上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（-∞，0），(

3	2

，+∞)上單調(diào)遞增，
畫出圖象：
當(dāng)x＜0且x≠-1時，函數(shù)f（x）不存在零點(diǎn)；
當(dāng)0＜x＜

3	2

時，只有一個整數(shù)零點(diǎn)x=1，此時a=2；
當(dāng)x=

3	2

時，不是整數(shù)零點(diǎn)應(yīng)舍去；
當(dāng)x＞

3	2

時，最小整數(shù)零點(diǎn)x=2，此時a=

9

4

；
比2大1的整數(shù)零點(diǎn)是3，此時a=

28

9

．
綜上可知：要滿足函數(shù)f（x）=x³-ax²+1（0≤a≤M₀）存在整數(shù)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a恰有3個（即0，2，

9

4

），則M₀的取值范圍是[

9

4

，

28

9

)．
故答案為[

9

4

，

28

9

)．

點(diǎn)評：熟練掌握分類討論的思想方法、利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．