Question

15．已知雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線D：y²=2px（p＞0）的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點，雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，△ABO的面積為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求雙曲線C的漸近線方程；
（Ⅱ）求p的值．

Answer 1

分析 （I）由離心率公式和a，b，c的關系，可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可得到雙曲線的漸近線方程；
（II）求出拋物線的準線方程，代入漸近線方程，可得A，B的坐標，得到AB的距離，由三角形的面積公式，計算即可得到p的值．

解答 解：（I）由雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由此可知$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即y=±$\sqrt{3}$x；            
（II）由拋物線y²=2px的準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{x=-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{p}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}p}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$p）；
同理可得B（-$\frac{p}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$p）．                  
所以|AB|=$\sqrt{3}$p，
由題意得△ABO的面積為$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$p•$\frac{p}{2}$=2$\sqrt{3}$，
由于p＞0，解得p=2$\sqrt{2}$，所求p的值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用離心率公式和a，b，c的關系，考查拋物線的方程和性質，以及三角形的面積公式的計算，屬于基礎題．