Question

15．若直線ax+2by-2=0（a，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長(zhǎng)，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為9．

Answer 1

分析 首先，求解圓的圓心，然后，將圓心代入直線方程，得到a+b=1，然后，結(jié)合不等式求解即可．

解答 解：∵x²+y²-4x-2y-8=0
∴（x-2）²+（y-1）²=13，
∴圓心為（2，1），
∵直線ax+2by-2=0（a，b＞0）始終平分圓的周長(zhǎng)，
∴直線ax+2by-2=0過(guò)圓x²+y²-4x-2y-8=0的圓心（2，1），
∴2a+2b=2，
∴a+b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）=1+$\frac{4a}$+$\frac{a}$+4
=5+$\frac{4a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{\frac{4a}•\frac{a}}$+5=9，
（當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)等號(hào)成立），
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了圓的一般式方程、圓的性質(zhì)、基本不等式及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．