Question

10．設(shè)點(diǎn)P在曲線y=$\frac{1}{3}{e^x}$上，點(diǎn)Q在曲線y=ln（3x）上，則|PQ|的最小值為（　�。�

• A． 1-ln3
• B． $\sqrt{2}$（ln3-1）
• C． 1+ln3
• D． $\sqrt{2（}1+ln3）$

Answer 1

分析 考慮到兩曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求丨PQ丨的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式即可得到最小值．

解答 解：∵曲線y=$\frac{1}{3}$e^x（e自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與曲線y=ln3x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，
故可先求點(diǎn)P到直線y=x的最近距離d，
設(shè)曲線y=$\frac{1}{3}$e^x上斜率為1的切線為y=x+b，
∵y′=$\frac{1}{3}$e^x，由$\frac{1}{3}$e^x=1，得x=ln3，此時(shí)y=1，
故切點(diǎn)坐標(biāo)為（ln3，1），
切點(diǎn)到直線x-y=0的距離為：d=$\frac{|ln3-1|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}|ln3-1|}{2}$，
∴丨PQ丨的最小值為2d=$\sqrt{2}|ln3-1|$=$\sqrt{2}（ln3-1）$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對(duì)稱性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程的求法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．