Question

3．某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測(cè)出其中一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)存在問題．該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲，乙兩條流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取50件產(chǎn)品作為樣本，測(cè)出它們的這一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值．若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在（195，210]內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．
甲流水線樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值	頻數(shù)
（190，195]	9
（195，200]	10
（200，205]	17
（205，210]	8
（210，215]	6

（Ⅰ）根據(jù)圖1，估計(jì)乙流水線生產(chǎn)產(chǎn)品該質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)；
（Ⅱ）若將頻率視為概率，某個(gè)月內(nèi)甲，乙兩條流水線均生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則甲，乙兩
條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件？
（Ⅲ）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有85%的把握認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這
種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲，乙兩條流水線的選擇有關(guān)”？

	甲生產(chǎn)線	乙生產(chǎn)線	合計(jì)
合格品
不合格品
合計(jì)

附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$（其中n=a+b+c+d為樣本容量）

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x-205）=0.5，即可估計(jì)乙流水線生產(chǎn)產(chǎn)品該質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)；
（Ⅱ）求出甲，乙兩條流水線生產(chǎn)的不合格的概率，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）計(jì)算可得K²的近似值，結(jié)合參考數(shù)值可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)乙流水線生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為x，
因?yàn)?.48=（0.012+0.032+0.052）×5＜0.5＜（0.012+0.032+0.052+0.076）×5=0.86，…（1分）
則（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x-205）=0.5，…（3分）
解得$x=\frac{3900}{19}$．                            …（4分）
（Ⅱ）由甲，乙兩條流水線各抽取的50件產(chǎn)品可得，甲流水線生產(chǎn)的不合格品有15件，
則甲流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品為不合格品的概率為${P_甲}=\frac{15}{50}=\frac{3}{10}$，…（5分）
乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品為不合格品的概率為${P_乙}=（{0.012+0.028}）×5=\frac{1}{5}$，…（6分）
于是，若某個(gè)月內(nèi)甲，乙兩條流水線均生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則甲，乙兩條流水線生產(chǎn)的不合格品件數(shù)分別為：$5000×\frac{3}{10}=1500，5000×\frac{1}{5}=1000$．       …（8分）
（Ⅲ）2×2列聯(lián)表：

	甲生產(chǎn)線	乙生產(chǎn)線	合計(jì)
合格品	35	40	75
不合格品	15	10	25
合計(jì)	50	50	100

…（10分）
則${K^2}=\frac{{100×{{（{350-600}）}^2}}}{50×50×75×25}=\frac{4}{3}≈1.3$，…（11分）
因?yàn)?.3＜2.072，
所以沒有85%的把握認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值與甲，乙兩條流水線的選擇有關(guān)”．   …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬中檔題．