Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²，若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線方程為x+y=0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （0，0）
• B． （1，-1）
• C． （-1，1）
• D． （1，-1）或（-1，1）

Answer 1

分析 由曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線方程為x+y=0，導(dǎo)函數(shù)等于-1求得點(diǎn)（x₀，f（x₀））的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求得f（x₀）的值，可得結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²，
∴f′（x）=3x²+2ax，
∵函數(shù)在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線方程為x+y=0，
∴3x₀²+2ax₀=-1，
∵x₀+x₀³+ax₀²=0，解得x₀=±1．
當(dāng)x₀=1時(shí)，f（x₀）=-1，
當(dāng)x₀=-1時(shí)，f（x₀）=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值就是對(duì)應(yīng)曲線上該點(diǎn)處的切線的斜率，是中檔題．