Question

5．已知點列A_n（x_n，0），n∈N^*，其中x₁=0，x₂=1．A₃是線段A₁A₂的中點，A₄是線段A₂A₃的中點，…，A_n+2是線段A_nA_n+1的中點，…設(shè)a_n=x_n+1-x_n．
（Ⅰ）寫出x_n與x_n-1、x_n-2（n≥3）之間的關(guān)系式并計算a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點，可得x_n與x_n-1、x_n-2之間的關(guān)系式，并令n=1，2，3求出答案即可．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，猜想的通{a_n}項公式，用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟直接證明即可．

解答 解：（Ⅰ）${x_n}=\frac{{{x_{n-1}}+{x_{n-2}}}}{2}（n≥3）$…（2分）${a_1}=1，{a_2}=-\frac{1}{2}，{a_3}=\frac{1}{4}$．…（5分）
（Ⅱ）猜想${a_n}={（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$…（6分）
證明：①當n=1時，a₁=$（-\frac{1}{2}）^{1-1}$=1
∴當n=1時，${a_n}={（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$成立．…（7分）
②假設(shè)當n=k時${a_k}={（-\frac{1}{2}）^{k-1}}$成立．
則當n=k+1時，${a_{k+1}}={x_{k+2}}-{x_{k+1}}=\frac{{{x_{k+1}}+{x_k}}}{2}-{x_{k+1}}=-\frac{1}{2}（{x_{k+1}}-{x_k}）=-\frac{1}{2}{a_k}$=$-\frac{1}{2}•{（-\frac{1}{2}）^{k-1}}={（-\frac{1}{2}）^k}={（-\frac{1}{2}）^{（k+1）-1}}$，
∴當n=k+1時，公式成立．…（11分）
綜上①②得，對任意n∈N^*，公式${a_n}={（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$成立．…（12分）

點評 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式以及通項公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查計算能力與邏輯推理能力．