Question

如圖，在四棱錐中，底面，， ，，，點為棱的中點.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）余弦值為.

【解析】

試題分析：思路一：坐標法.依題意，以點為原點建立空間直角坐標系（如圖），寫出各點的坐標，利用空間向量即可解決問題.思路二：幾何法.（Ⅰ）如圖，取中點，連接，.易得四邊形為矩形，從而使問題得證.

（Ⅱ）由于，那么BF在平面ABCD內的射影與AC垂直，故考慮作出BF在平面ABCD內的射影.在中，過點作交于點.由題設可得，從而得，.在平面內，作交于點，于是.顯然為二面角的平面角. 在三角形PAG中，由余弦定理可得二面角的余弦值.

試題解析：解法一：坐標法.

依題意，以點為原點建立空間直角坐標系（如圖），

可得，，，.由為棱的中點，得.

（Ⅰ）向量，，故. 所以，.

（Ⅱ）向量，，，.

由點在棱上，設，.

故.

由，得，

因此，，解得.

即.

設為平面的法向量，則即

不妨令，可得為平面的一個法向量

取平面的法向量，則

.

易知，二面角是銳角，所以其余弦值為.

解法二：幾何法.

（Ⅰ）如圖，取中點，連接，.

由于分別為的中點， 故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，所以.

因為底面，故，而，從而平面，因為平面，于是，又，所以.

（Ⅱ）如圖，在中，過點作交于點.

因為底面，故底面，

從而.又，得平面，因此.

在底面內，可得，

.在平面內，作交于點，于是.

由于，故，所以四點共面.

由，，得平面，故.

所以為二面角的平面角.

在中，，，，

由余弦定理可得，

在三角形PAG中，由余弦定理得.

所以，二面角的余弦值為.

考點：1、空間直線的垂直關系；2、二面角.