Question

16．設(shè)f（x）=ax-ln（1+x²），
（1）當(dāng)a=$\frac{4}{5}$時(shí)，求f（x）在（0，+∞）的極值；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，ln（1+x²）＜x；
（3）證明：$（1+\frac{1}{2^4}）（1+\frac{1}{3^4}）…（1+\frac{1}{n^4}）＜e$（n∈N^*，n≥2，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性推出不等式，得到結(jié)果即可．
（3）利用（2）的結(jié)論，利用放縮法以及裂項(xiàng)求和，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）當(dāng)$a=\frac{4}{5}時(shí)，f（x）=\frac{4}{5}x-ln（1+{x^2}）$，∴${f^'}（x）=\frac{4}{5}-\frac{2x}{{1+{x^2}}}=\frac{{4{x^2}-10x+4}}{{5（1+{x^2}）}}$，
f′（x），f（x）變化如下表：

x	$（{0，\frac{1}{2}}）$	$\frac{1}{2}$	$（{\frac{1}{2}，2}）$	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴${f_{極大值}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}-ln\frac{5}{4}$，${f_{極小值}}=f（2）=\frac{8}{5}-ln5$，
（2）令g（x）=x-ln（1+x²），則${g^'}（x）=1-\frac{2x}{{1+{x^2}}}=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{{1+{x^2}}}≥0$，
∴g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
∴g（x）＞g（0）=0，∴l(xiāng)n（1+x²）＜x．
（3）由（2）知ln（1+x²）＜x，
令$x=\frac{1}{n^4}$得，$ln（1+\frac{1}{n^4}）＜\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{n（n-1）}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，n≥2．
∴$ln（1+\frac{1}{2^4}）+ln（1+\frac{1}{3^4}）+…+ln（1+\frac{1}{n^4}）$$＜1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}＜1$，
則原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，放縮法以及裂項(xiàng)求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．